এক এক ফাংশন One One Function

কোনো ফাংশনের অধীনে ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিবিম্ব সর্বদাই ভিন্ন ভিন্ন হলে ঐ ফাংশনকে এক-এক (One-One) ফাংশন বলা হবে।

এক-এক (One-One) ফাংশন যাচাইকরন:

১। F(x) = 5x-3, x∈ R

মনে করি, a ∈ ডোম F এবং b ∈ ডোম F ।

∴ F(a) = 5a-3 এবং F(b)= 5b-3

এখন, F(a)= F(b) হবে যদি ও কেবল যদি

5a-3 = 5b-3 হয়

বা, 5a = 5b     ,,

বা, a = b     ,,

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

২। F(x) = x2, x∈ R

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = x12 এবং F(x2)= x22

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, x12= x22

বা, x1 =± x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন নয়।

অথবা,

F(x) = x2, x∈ R

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = x12 এবং F(x2)= x22

ফাংশনটি এক-এক হবে হবে যদি ও কেবল যদি F(x1) = F(x2) হলে, x1 = x2 হয়।

এখন, F(x1) = F(x2) হলে

বা, x12= x22

বা, x1 =± x2

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন নয়।

 

৩। F(x) = x2, x ≥ 0

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = x12 এবং F(x2)= x22

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, x12= x22

বা, x1 = x2 হয়।(এক্ষেত্রে ডোমেন অঋনাত্মক হওয়ায় (±) চিহ্ন ব্যবহৃত হয়নি।)

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

বি.দ্র. F(x) = x2 ফাংশনটি x<0 এর জন্যও এক-এক হবে।  

 

৪। F(x) = x3, x∈ R

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = x13 এবং F(x2)= x23

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, x13= x23

বা, x1 = x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

 

৫। F(x) = x1/3, x∈ R

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = x11/3 এবং F(x2)= x21/3

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, x11/3= x21/3

বা, x1 = x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

 

৬। F(x) = |x|, x∈ R

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = |x1| এবং F(x2)= |x2|

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, |x1| = |x2|

বা, x1 = ±x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন নয়।

 

৭। F(x) = |x|, x≥ 0

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = |x1| এবং F(x2)= |x2|

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, |x1| = |x2|

বা, x1 = x2 হয়।(এক্ষেত্রে ডোমেন অঋনাত্মক হওয়ায় (±) চিহ্ন ব্যবহৃত হয়নি।)

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

বি.দ্র. F(x) = |x| ফাংশনটি x<0 এর জন্যও এক-এক হবে।

 

৮। F(x) = √x ,x≥ 0

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = √x1 এবং F(x2)= √x2

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, √x1 = √x2

বা, x1 = x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

 

৯। F(x) = √(x+3) , x≥ -3

মনে করি, x1 ∈ ডোম F এবং x2 ∈ ডোম F ।

∴ F(x1) = √(x1+3) এবং F(x2)= √(x2+3)

এখন, F(x1) = F(x2) হবে যদি ও কেবল যদি

বা, √(x1+3) = √(x2+3)

বা, x1+3 = x2+3

বা, x1 = x2 হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

১০। F(x) = √( x2-4), x ≥ 2 or  x ≤ -2

মনে করি, p ∈ ডোম F এবং q ∈ ডোম F ।

∴ F(p) = √(p2-4) এবং F(q)= √(q2-4)

এখন, F(p) = F(q) হবে যদি ও কেবল যদি

√(p2-4)  = √(q2-4)

বা, p2-4 = q2-4

বা, p2 = q2

             বা, p = ±q হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন নয়।

 

১১। F(x) = √( x2-4), x ≥ 2

মনে করি, p ∈ ডোম F এবং q ∈ ডোম F ।

∴ F(p) = √(p2-4) এবং F(q)= √(q2-4)

এখন, F(p) = F(q) হবে যদি ও কেবল যদি

√(p2-4)  = √(q2-4)

বা, p2-4 = q2-4

বা, p2 = q2 (এক্ষেত্রে ডোমেন ধনাত্মক হওয়ায় (±) চিহ্ন ব্যবহৃত হয়নি।)

             বা, p = q হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

 

১২। F(x) = √( x2-4), x ≤ -2

মনে করি, p ∈ ডোম F এবং q ∈ ডোম F ।

∴ F(p) = √(p2-4) এবং F(q)= √(q2-4)

এখন, F(p) = F(q) হবে যদি ও কেবল যদি

√(p2-4)  = √(q2-4)

বা, p2-4 = q2-4

বা, p2 = q2

             বা, p = q হয়।(এক্ষেত্রে ডোমেন ঋনাত্মক হওয়ায় (±) চিহ্ন ব্যবহৃত হয়নি।)

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

 

১৩। F(x)= 1/(5x+7), x ≠-7/5

মনে করি, m ∈ ডোম F এবং n ∈ ডোম F ।

∴ F(m) = 1/(5m+7) এবং F(n)= 1/(5n+7)

এখন, F(m) = F(n) হবে যদি ও কেবল যদি

1/(5m+7)= 1/(5n+7) হয়

বা, 5m+7 = 5n+7

বা, 5m = 5n

বা, m = n হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

 

১৪। F(x)= (2x+5)/(7x-4), x ≠4/7

মনে করি, m ∈ ডোম F এবং n ∈ ডোম F ।

∴ F(m) = (2m+5)/(7m-4) এবং F(n)= (2n+5)/(7n-4)

এখন, F(m) = F(n) হবে যদি ও কেবল যদি

(2m+5)/(7m-4) = (2n+5)/(7n-4) হয়

বা, (2m+5)(7n-4)= (2n+5)(7m-4)

বা, 14mn+35n-8m-20 = 14mn+35m-8n-20

বা, 35n-8m= 35m-8n

বা, 35m+8m= 35n+8n

বা, 43m = 43n

বা, m = n হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

 

১৫। F(x)= lnx, x>0

মনে করি, p ∈ ডোম F এবং q ∈ ডোম F ।

∴ F(p) = lnp এবং F(q)= lnq

এখন, F(p) = F(q) হবে যদি ও কেবল যদি

lnp = lnq

বা, p = q হয়।

∴ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন ।

মন্তব্য করুন

আপনার ই-মেইল এ্যাড্রেস প্রকাশিত হবে না। * চিহ্নিত বিষয়গুলো আবশ্যক।

Show Buttons
Hide Buttons
%d bloggers like this: